CUARTA CENTURIA

300. Las cifras que faltan.
En la siguiente multiplicación, más de la mitad de las cifras están sustituidas por asterisco.

301. Cosas de la huerta.

Mi primo Antonio que tiene una huerta cerca de Aranjuez, presume de ser un agricultor moderno y organizado y lleva una estadística estricta de los diferentes productos que siembra y recoge. Al final de la cosecha, dejó a un lado el melón más grande y el más pequeño para medirlos y ver como mejorar la producción. Midió el menor y anotó su anchura, su altura y su peso (ver figura). Luego midió el mayor y anotó también su altura y su anchura, pero olvidó medir el peso. Cuando recordó que le faltaba hacer esta última medida, el melón había desaparecido. Sin embargo, mi primo pudo averiguar fácilmente su peso teniendo en cuenta el las dimensiones de la pequeña. ¿Cómo lo hizo? ¿Cuánto pesaba el melón grande?


302. Leyenda sobre el tablero del ajedrez

El ajedrez es un juego antiquísimo. Cuenta muchos siglos de existencia y por eso no es de extrañar que estén ligadas a él leyendas cuya veracidad es difícil comprobar debido a su antigüedad. Precisamente quiero contar una de estas. Para comprenderla no hace falta saber jugar al ajedrez; basta simplemente saber que el tablero donde se juega está dividido en 64 escaques (casillas negras y blancas, dispuestas alternativamente).

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú SHERAM lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento. El inventor, llamado SETA, se presentó ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos.

—Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado —dijo el rey. El sabio contestó con una inclinación.
—Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás. Seta continuó callado.

—No seas tímido —le animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.

—Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición. Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.
—Soberano —dijo Seta—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez.

—¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey.

—Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta. 16; por la sexta, 32... —

—Basta —interrumpió irritado el rey—. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa. menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, corno sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.

Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio. Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Seta su mezquina recompensa.

—Soberano, están cumpliendo tu orden —fue la respuesta—. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponden. El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes. Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacia que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

—Soberano —le contestaron—, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

—¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden. Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante. El rey mandó que le hicieran entrar.

—Antes de comenzar tu informe —le dijo Sheram—, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.

—Precisamente para eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme...

—Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.

—Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio. —Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.

—Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

Esta es la leyenda. No podemos asegurar que haya sucedido en realidad lo que hemos contado; sin embargo, la recompensa de que habla la leyenda debe expresarse por ese número; de ello pueden convencerse, haciendo ustedes mismos el cálculo. Si se comienza por la unidad, hay que sumar las siguientes cifras: 1, 2, 4, 8, etc. El resultado obtenido tras 63 duplicaciones sucesivas nos mostrará la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el inventor: 18.446.744.073.709.551.615

Para hacernos una idea de la inmensidad de esta cifra gigante, calculemos aproximadamente la magnitud del granero capaz de almacenar semejante cantidad de trigo. Es sabido que un metro cúbico de trigo contiene cerca de 15 millones de granos. En ese caso, la recompensa del inventor del ajedrez deberá ocupar un volumen aproximado de 12.000.000.000.000 m3, o lo que es lo mismo, 12.000 km3. Si el granero tuviera 4 m de alto y 10 m de ancho, su longitud habría de ser de 300.000.000 de km, o sea, el doble de la distancia que separa la Tierra del Sol.
El rey hindú, naturalmente, no pudo entregar semejante recompensa. Sin embargo, de haber estado fuerte en matemáticas, hubiera podido librarse de esta deuda tan gravosa. Para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano, el trigo que le correspondía.

Efectivamente, si Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando un grano por segundo, habría contado en el primer día 86 400 granos. Para contar un millón de granos hubiera necesitado, como mínimo, diez días de continuo trabajo. Un metro cúbico de trigo lo hubiera contado aproximadamente en medio año, lo que supondría un total de cinco cuartos. Haciendo esto sin interrupción durante diez años, hubiera contado cien cuartos como máximo. Por consiguiente, aunque Seta hubiera consagrado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondían, habría recibido sólo una parte ínfima de la recompensa exigida.


303.Con dos cifras. ¿Cuál es el menor número entero positivo que puede escribirse con dos cifras?


304.Con cinco nueves Expresa el número 10 utilizando cinco nueves y las operaciones que desees.


305. Con cuatro unidades ¿Cuál es el mayor número que se puede escribir con cuatro unos?


306.La rueda con números. Las cifras del 1 al 9 hay que distribuirlas en la rueda de la figura: una cifra debe ocupar el centro del círculo y las demás, los extremos de cada diámetro de manera que las tres cifras de cada fila sumen siempre 15.

307.En seis filas

Seguramente conoce usted la historia cómica sobre cómo nueve caballos fueron distribuidos en diez establos y en cada establo resultó haber un caballo. El problema que voy a proponerle se parece mucho a esta broma célebre, pero no tiene solución imaginaria, sino completamente real. Consiste en lo siguiente: Distribuir 24 personas en 6 filas de modo que en cada fila haya 5 personas.

308. ALGUNOS HALLAZGOS DE LOS PITAGÓRICOS

Aparte del teorema de Pitágoras, ¿qué más sabemos de la escuela del maestro de Crotona? En sus investigaciones sobre los números enteros, sus miembros llegaron a resultados sorprendentes. Algunos han sido luego reconstruidos por el análisis, otros siguen manteniendo su dificultad incluso con esta poderosa herramienta. Veamos algunos ejemplos, que centraremos de momento en las sucesiones numéricas.

Sucesión de los impares. Empecemos escribiendo la tabla de los impares:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29…

Es bien conocido que sus progresivas sumas engendran los cuadrados:

1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
............................

Pero no lo es tanto que las sumas parciales, tomadas en números de sumandos crecientes, engendran los cubos:

1 = 1
3 + 5 = 8
7 + 9 + 11 = 27
13 + 15 + 17 + 19 = 64
............................

Y también las cuartas potencias, partiendo siempre del inicio:

1 = 1
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
.................................................

309.La contraseña.

Un grupo de policías está investigando a un grupo de delincuentes que trafican en un local bien custodiado. Desde un coche camuflado vigilan la entrada al local. Quieren infiltrar a un grupo de policías de paisano, pero no saben la contraseña.

En ese momento llega un cliente. Llama a la puerta y desde el interior le dicen: “18”. El cliente responde: “9”. La puerta se abre y accede al interior.

Los policías se miran, creen tener la respuesta. Pero deciden esperar. Viene otro cliente. Desde dentro le dicen: “8”. Él responde: “4”. La puerta se abre. Los policías sonríen. “Ya lo tenemos. Se trata de responder la mitad del número que te dicen desde dentro”.

Llega otro cliente. Desde dentro dicen: “14”. El cliente contesta: “7”. La puerta se abre. “¿Lo veis?” dice el jefe de policía. Deciden enviar a un agente. Llama a la puerta. Desde dentro le dicen: “0”. El policía se queda parado. Después de unos breves segundos responde: “0”. Se oye una ráfaga de disparos y el policía muere.

Los agentes que hay en el coche se quedan sorprendidos, pero deciden enviar a otro agente. Desde dentro se oye: “6”. El policía contesta muy convencido: “3”. Pero la puerta no se abre. Se oye una ráfaga de disparos y el policía muere. ¿Por qué?


310. . Tuercas y clavos Hay tres cajas, una contiene tornillos , otra tuercas y la otra clavos . El que ha puesto las etiquetas de lo que contenían se ha confundido y no ha acertado con ninguna. Abriendo una sola caja y sacando una sola pieza ¿Cómo se puede conseguir poner a cada caja su etiqueta correcta?


311. El pastor ingenioso. Había una vez pastor, Juan Abiza, que sólo sabía contar hasta diez y que tenía a su cargo un rebaño numeroso. Para saber si tenía todas las ovejas, y como a los pastores lo que les sobra es tiempo, había inventado un ingenioso y curioso sistema que ponía en práctica todos los días a la caída del sol.

· Agrupaba sus animales de dos en dos y observaba que sobraba una oveja.
· Repetía la agrupación de tres en tres y también sobraba una oveja.
· Si agrupaba los animales de cuatro en cuatro, de cinco en cinco y de seis en seis, ocurría de nuevo lo mismo: sobraba una.
· Únicamente, cuando los agrupaba de siete en siete quedaban todos los grupos exactamente con el mismo número de ovejas.


312.En busca de cuadrados

¿Cuántos cuadrados pueden formarse con la condición de que tengan un punto de la figura en cada vértice?

313. El maestro está explicando a su clase el hecho notable de que dos veces 2 da la misma respuesta que 2 + 2.

Aunque el 2 es el único número que tiene esta propiedad, hay muchos pares de números que pueden sustituir a A y B en estas ecuaciones que están a la derecha del pizarrón. ¿Puedes descubrir algún par así? Por supuesto, pueden ser fracciones, pero su producto debe ser igual a la suma.

314. Tres vecinos que compartían un pequeño parque, como se ve en la ilustración, tuvieron una riña. El dueño de la casa grande, quejándose de que los pollos de su vecino le molestaban, construyó un camino con cerca que iba desde su puerta hasta la salida que está en la parte inferior de la ilustración. Después el hombre de la casa de la derecha construyó un camino hasta la salida de la izquierda, y el hombre de la izquierda construyó un camino hasta la salida de la derecha.
Ninguno de estos caminos se cruzaban. ¿Puedes dibujarlos correctamente?



315. ¿Cuántas bolitas harán falta para equilibrar el trompo en la última balanza?


316. ¿Cuál es el camino más corto para ir del punto A al B por el exterior del siguiente cubo?

317. Coloca las cifras del 1 al 8 una en cada vértice del cubo de forma que la suma de los cuatro números de cada cara dé el mismo valor para cada cara.


318. Einstein y sus problemas.

Este es un problema que solía proponer Einstein y del que decía que sólo el 2% de la población era capaz de solucionarlo. ¿Serás parte de ese 2%?
El problema dice así:

Hechos:
1) Tenemos cinco casas de 5 colores diferentes.
2) En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad.
3) Estos cinco propietarios beben bebidas diferentes, hacen deportes diferentes y tienen animales diferentes.

Datos:
1) El inglés vive en la casa roja.
2) El animal del sueco es un perro.
3) El danés bebe té.
4) La casa verde está situada inmediatamente a la izquierda de la blanca.
5) El propietario de la casa verde toma café.
6) La persona que hace natación tiene gorriones.
7) El propietario de la casa amarilla practica golf.
8) El que vive en la casa del centro toma leche.
9) El noruego vive en la primera casa.
10) La persona que juega al tenis vive al lado del que tiene gatos.
11) El hombre que tiene caballos vive al lado del que juega al golf
12) La persona que monta en bicicleta bebe cerveza.
13) El alemán practica el remo.
14) El noruego vive al lado de la casa azul.
15) EL hombre juega al tenis tiene un vecino que bebe agua.

La pregunta es, ¿quién tiene peces?


318. Cada cifra en su lugar
Coloca las cifras del 1 al 9 en los cuadros de forma que cada cuadro superior sea igual a la suma de los dos cuadros de la fila inferior.